已知過原點O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點分別為P、Q，PQ交y軸於點K，拋物線經過P、...

來源：國語幫 3.18W

問題詳情：

已知過原點O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點分別為P、Q，PQ交y軸於點K，拋物線經過P、Q兩點，頂點為N（0，6），且與x軸交於A、B兩點．（1）求點P的座標；（2）求拋物線解析式；（3）在直線y=nx+m中，當n=0，m≠0時，y=m是平行於x軸的直線，設直線y=m與拋物線相交於點C、D，當該直線與⊙M相切時，求點A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結果保留根號）．

【回答】

（1）如圖1， ∵⊙M與OP相切於點P， ∴MP⊥OP，即∠MPO=90°． ∵點M（0，4）即OM=4，MP=2， ∴OP=2 ． ∵⊙M與OP相切於點P，⊙M與OQ相切於點Q， ∴OQ=OP，∠POK=∠QOK． ∴OK⊥PQ，QK=PK． ∴PK= ． ∴OK= =3． ∴點P的座標為（，3）．（2）如圖2，設頂點為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax 2 +6， ∵點P（，3）在拋物線y=ax 2 +6上， ∴3a+6=3．解得：a=1．則該拋物線的解析式為y=x 2 +6．（3）當直線y=m與⊙M相切時，則有 =2．解得；m 1 =2，m 2 =6． ①m=2時，如圖3，則有OH=2．當y=2時，解方程x 2 +6=2得：x=±2，則點C（2，2），D（2，2），CD=4．同理可得：AB=2 ．則S 梯形ABCD = （DC+AB）OH= ×（4+2 ）×2=4+2 ． ②m=6時，如圖4，此時點C、點D與點N重合． S △ABC = ABOC= ×2 ×6=6 ．綜上所述：點A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2 或6 ．