如圖，已知拋物線，過點P（2，0）作斜率分別為的兩條直線，與拋物線相交於點A、B和C、D，且M、N分別是AB、...
來源：國語幫 9.18K
問題詳情：
如圖，已知拋物線
，過點P（2，0）作斜率分別為
的兩條直線，與拋物線相交於點A、B和C、D，且M、N分別是AB、CD的中點.
（1）若
，
，求線段MN的長；
（2）若
，求△PMN面積的最小值．
【回答】
解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設y1＞0，則
設直線AB的方程為y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣
y﹣8=0 ∴y1+y2=
，y1y2=﹣8，
∵
，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，
∴yM=1，∵k1+k2=0，
∴線段AB和CD關於x軸對稱，∴線段MN的長為2；
（2）∵k1•k2=﹣1，∴兩直線互相垂直，
設AB：x=my+2，則CD：x=﹣
y+2，
x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，則y1+y2=4m，y1y2=﹣8，
∴M（2m2+2，2m）．同理N（
+2，﹣
），
∴|PM|=2|m|•
，|PN|=•
，|
∴S△PMN=
|PM||PN|=
（m2+1）=2（|m|+
）≥4，
若且唯若m=±1時取等號，
∴△PMN面積的最小值為4．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
