已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交於不同的兩點A、B，且|AB...

問題詳情：

已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交於不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.

(1)求a的取值範圍.

(2)若線段AB的垂直平分線交x軸於點N，求△NAB面積的最大值.

【回答】

解析：(1)設直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0

∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2

又∵p＞0,∴a≤－.

(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點C(x,y),

由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,

則有x==p.

∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點座標為(a+2p,0）

點N到AB的距離為。

從而S△NAB=

當a有最大值－時，S有最大值為p2。

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題