已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F(0，1)，過點F作直線l交拋物線C於A，B兩點．橢圓E的...

問題詳情：

已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F(0，1)，過點F作直線l交拋物線C於A，B兩點．橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e＝．

(1)分別求拋物線C和橢圓E的方程；

(2)經過A，B兩點分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交於點M．*：AB⊥MF．

【回答】

解：(1)由已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F(0，1)，可得拋物線C的方程為x2＝4y．

設橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，半焦距為c．由已知得：所以橢圓E的方程為＋y2＝1．

(2)*：顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個交點，不符合題意．

故可設直線l的方程為y＝kx＋1，

A (x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，由消去y並整理得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4．

因為拋物線C的方程為y＝x2，求導得y′＝x，

所以過拋物線C上A，B兩點的切線方程分別是y－y1＝x1(x－x1)，y－y2＝x2(x－x2)，

即y＝x1x－x，y＝x2x－x，

解得兩條切線l1，l2的交點M的座標為，

即

所以

所以AB⊥MF．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題