如圖,已知點為拋物線的焦點,過點F的直線交拋物線於A、B兩點,點C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線AC交...
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問題詳情:
如圖,已知點為拋物線的焦點,過點F的直線交拋物線於A、B兩點,點C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線AC交x軸於點Q,且Q在點F的右側.記的面積分別為.
(1)求p的值及拋物線的標準方程;
(2)求的最小值及此時點G的座標.
【回答】
本題主要考查拋物線的幾何*質,直線與拋物線的位置關係等基礎知識,同時考查運算求解能力和綜合應用能力。滿分15分。
(1)由題意得,即p=2.
所以,拋物線的準線方程為x=−1.
(2)設,重心.令,則.
由於直線AB過F,故直線AB方程為,代入,得
,
故,即,所以.
又由於及重心G在x軸上,故,得.
所以,直線AC方程為,得.
由於Q在焦點F的右側,故.從而
.
令,則m>0,
.
當時,取得最小值,此時G(2,0).
知識點:高考試題
題型:解答題