已知拋物線的焦點為，為拋物線上異於原點的任意一點，過點的直線交拋物線於另一點，交軸的正半軸於點，且有.當點的橫...
來源：國語幫 1.89W
問題詳情：
已知拋物線
的焦點為
，
為拋物線
上異於原點的任意一點，過點
的直線
交拋物線
於另一點
，交
軸的正半軸於點
，且有
.當點
的橫座標為3時，
為正三角形.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）若直線
，且
和拋物線
有且只有一個公共點
，試問直線
（
為拋物線
上異於原點的任意一點）是否過定點，若過定點，求出定點座標；若不過定點，請説明理由.
【回答】
解：（1）由題意知
，設
，則
的中點為
，
因為
，由拋物線的定義知：
，解得
或
（捨去），
由
，解得
，所以拋物線
的方程為
.
（2）由（1）知
，設
，
，因為
，則
，由
得
，故
，
故直線
的斜率為
，因為直線
和直線
平行，
故可設直線
的方程為
，
代入拋物線方程得
，
由題意知
，得
.
設
，則
，
，
當
時，
，
可得直線
的方程為
，
由
，整理可得
，
所以直線
恆過點
，
當
時，直線
的方程為
，過點
，
所以直線
恆過定點
.
知識點：座標系與參數方程
題型：解答題
