如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y軸於點M.(...
問題詳情：
如圖，拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y軸於點M.
(1)求拋物線的表達式；
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸於點E，交線段AM於點F，求線段DF長度的最大值，並求此時點D的座標；
(3)拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸於點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的座標；若不存在，請説明理由.
【回答】
解：由題意可知
．解得
．
∴拋物線的表達式為y=－
x2－
x＋1．
（2）將x=0代入拋物線表達式，得y=1．∴點M的座標為（0，1）．
設直線MA的表達式為y=kx+b，則
解得
．
∴直線MA的表達式為y=
x+1．
設點D的座標為（x0, －
x
－ x0＋1），則點F的座標為（x0, x0＋1）．
DF=－x
－
x0＋1－（x0＋1）
=－x
－x0=－ （x0＋
）2＋
當x0=－
時，DF的最大值為
此時－x－ x0＋1=
，即點D的座標為（－，
）．………………………………6分
（3）存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似．設P（m，－m2－
m＋1）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限．
① 設點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，
∴－m2－m＋1=3(m+3)，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（捨去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此時滿足條件的點不存在．
② 當點P在第三象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，
∴-(－m2－m＋1)=3(-m-3)，即m2+11m+24=0．
解得m=﹣3或m=﹣8．此時點P的座標為（﹣8，﹣15）．
③ 當點P在第四象限時，若AN=3PN時，則﹣3(－m2－m＋1)= m+3，即m2+m﹣6=0．
解得m=﹣3（捨去）或m=2．
當m=2時，－m2－m＋1=－
．此時點P的座標為（2，－
）．
若PN=3NA，則-(－m2－m＋1)=3(m＋3)，即m2﹣7m﹣30=0．
解得m=﹣3（捨去）或m=10，此時點P的座標為（10，﹣39）．
綜上所述，滿足條件的點P的座標為
（﹣8，﹣15）、（2，－）、（10，﹣39）．……………………………………9分
知識點：各地中考
題型：解答題
