已知函數,曲線在點處的切線方程為.(1)求,的值;(2)*函數存在唯一的極大值點,且.
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問題詳情:
已知函數,曲線在點處的切線方程為.
(1)求,的值;
(2)*函數存在唯一的極大值點,且.
【回答】
(1)(2)*見解析
【分析】
(1)求導,可得(1),(1),結合已知切線方程即可求得,的值;
(2)利用導數可得,,再構造新函數,利用導數求其最值即可得*.
【詳解】
(1)函數的定義域為,,
則(1),(1),
故曲線在點,(1)處的切線方程為,
又曲線在點,(1)處的切線方程為,
,;
(2)*:由(1)知,,則,
令,則,易知在單調遞減,
又,(1),
故存在,使得,
且當時,,單調遞增,當,時,,單調遞減,
由於,(1),(2),
故存在,使得,
且當時,,,單調遞增,當,時,,,單調遞減,
故函數存在唯一的極大值點,且,即,
則,
令,則,
故在上單調遞增,
由於,故(2),即,
.
【點睛】
本題考查導數的幾何意義以及利用導數研究函數的單調*,極值及最值,考查推理論*能力,屬於中檔題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題