已知實數，函數，．（1）討論函數的單調*；（2）若是函數的極值點，曲線在點，處的切線分別為，且在軸上的截距分別...
來源：國語幫 2.53W
問題詳情：
已知實數
，函數
，
．
（1）討論函數
的單調*；
（2）若
是函數
的極值點，曲線
在點
，
處的切線分別為
，且
在
軸上的截距分別為
．若
，求
的取值範圍．
【回答】
（1）當
時，
在
上單調遞減；當
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增；（2）
．
【分析】
（1）求導後得
；分別在
和
兩種情況下，根據
的符號可確定
的單調*；
（2）由極值點定義可構造方程求得
，得到
和
；根據導數的幾何意義可求得在
處的切線方程，進而求得
；由
可求得
的關係，同時確定
的取值範圍；將
化為
，令
，
，利用導數可求得
的單調*，進而求得
的值域即為
的範圍.
【詳解】
（1）
.
，
，
.
①當
，即
時，
，
在
上單調遞減；
②當
，即
時，
當
時，
；當
時，
，
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
綜上所述：當
時，
在
上單調遞減；當
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）
是
的極值點，
，即
，
解得：
或
（舍），此時
，
.
方程為：
，
令
，得：
；同理可得：
.
，
，整理得：
，
，
又
，則
，解得：
，
.
令
，則
，
設
，
，
在
上單調遞增，又
，
，
，
即
的取值範圍為
.
【點睛】
本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到利用導數討論含參數函數的單調*、極值點的定義、導數的幾何意義、利用導數求解參數的取值範圍等問題；關鍵是能夠通過構造函數的方式將所求式子的範圍轉化為函數值域的求解問題.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
