已知函數.（I）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的極值；（II）當時，若函數在區間上的最小值為，求的值；（...
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問題詳情：
已知函數
.
（I）若曲線
在點
處的切線與直線
垂直，求函數的極值；
（II）當
時，若函數
在區間
上的最小值為
，求
的值；
（III）討論函數
零點的個數.
【回答】
解：（I）
， …………1分
因為曲線
在點
處的切線與直線
垂直，所以
，
即
，解得
.所以
， …………2分
當
時，
，
在
上單調遞減；
當
時，
，
在
上單調遞增；…3分
當
時，
取得極小值
.
極小值為
. ………4分
(II)當
時，
在（1，3）上恆成立，這時
在[1，3]上為增函數
,
令 
，得
（捨去）,……5分
當
時，由
得，
,
若
，有
在
上為減函數， 若
有
在
上為增函數，
，令
，得
……7分 當
時，
在（1，3）上恆成立，這時
在
上為減函數，
∴
.令
得
（捨去） 綜上知,
. ……9分
(III)
函數
令
，得
， 設
當
時，
，此時
在
上單調遞增；
當
時，
，此時
在
上單調遞減；
所以
是
的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是
的最大值點，
的最大值為
. ……11分
又
，結合y=
的圖像（如圖），可知
① 當
時，函數
無零點；
②當
時，函數
有且僅有一個零點；
③當
時，函數
有兩個零點；
④
時，函數
有且只有一個零點； ………13分
綜上所述，當
時，函數
無零點；當
或
時，函數
有且僅有一個零點；當
時，函數
有兩個零點. ……14分
知識點：導數及其應用
題型：解答題
