設函數（）．（Ⅰ）若在處取得極值，求實數的值，並求此時曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上為減函數，求實數的取值...
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問題詳情：
設函數
（
）．
（Ⅰ）若
在
處取得極值，求實數
的值，並求此時曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）若
在
上為減函數，求實數
的取值範圍.
【回答】
.解：(1)對f(x)求導得
f′(x)＝
＝
.
因為f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
當a＝0時，f(x)＝
，f′(x)＝
，由f′(x)>0，0<x<2
f′(x)<0有x<0或x>2,故 a=0時
在
處取得極值
f(1)＝
，f′(1)＝
，
從而f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為
y－
＝(x－1)，化簡得3x－ey＝0. …… 6分
(2)由(1)知f′(x)＝，
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0，
解得x1＝
，x2＝
.
當x<x1時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數；
當x1<x<x2時，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)為增函數；
當x>x2時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數．
由f(x)在[3，＋∞)上為減函數，
知x2＝
≤3，解得a≥－
.
故a的取值範圍為
. …… 12分
知識點：導數及其應用
題型：解答題
