已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值．

問題詳情：

已知函數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值．

【回答】

(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設，求，根據確定函數的單調*，根據單調*求函數的最大值為，從而可以知道恆成立，所以函數是單調遞減函數，再根據單調*求最值.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以.

又因為，所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）設，則.

當時，，

所以在區間上單調遞減.

所以對任意有，即.

所以函數在區間上單調遞減.

因此在區間上的最大值為，最小值為.

【名師點睛】這道導數題並不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點的是需要兩次求導數，因為通過不能直接判斷函數的單調*，所以需要再求一次導數，設，再求，一般這時就可求得函數的零點，或是()恆成立，這樣就能知道函數的單調*，再根據單調*求其最值，從而判斷的單調*，最後求得結果.

知識點：導數及其應用

題型：解答題