設函數.(Ⅰ)若在x=處的切線與直線4x+y=0平行,求a的值;(Ⅱ)討論函數的單調區間;(Ⅲ)若函數的圖象與...
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問題詳情:
設函數.
(Ⅰ)若在x=處的切線與直線4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)討論函數的單調區間;
(Ⅲ)若函數的圖象與x軸交於A,B兩點,線段AB中點的橫座標為,*.
【回答】
解析:(I)由題知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定義域為(0,+∞),
且.
又∵f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行,
∴,
解得a=-6.
(Ⅱ),
由x>0,知>0.
①當a≥0時,對任意x>0,>0,
∴此時函數f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).
②當a<0時,令=0,解得,
當時,>0,當時,<0,
此時,函數f(x)的單調遞增區間為(0,),單調遞減區間為(,+∞).
(Ⅲ)不妨設A(,0),B(,0),且,由(Ⅱ)知,
於是要*<0成立,只需*:即.
∵, ①
, ②
①-②得,
即,
∴,
故只需*,
即*,
即*,變形為,
設,令,
則,
顯然當t>0時,≥0,若且唯若t=1時,=0,
∴g(t)在(0,+∞)上是增函數.
又∵g(1)=0,
∴當t∈(0,1)時,g(t)<0總成立,命題得*.
知識點:導數及其應用
題型:解答題