已知函數f（x）=lnx+mx，其中m為常數．（Ⅰ）當m=﹣1時，求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若f（x）在...

問題詳情：

已知函數f（x）=lnx+mx，其中m為常數．

（Ⅰ）當m=﹣1時，求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）若f（x）在區間（0，e]上的最大值為﹣3，求m的值；

（Ⅲ）令g（x）=﹣f′（x），若x≥1時，有不等式g（x）≥恆成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

考點： 利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調*．

專題： 導數的綜合應用．

分析： （Ⅰ）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．

（Ⅱ）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，對m進行分類討論並判斷其單調*，根據f（x）在區間（0，e]上的單調*求其最大值，並判斷其最大值是否為﹣3，若是就可求出相應的最大值．

（Ⅲ）首先求g（x），有不等式g（x）≥恆成立，轉化為k≤g（x）（x+1），求g（x）（x+1）的最小值，問題得以解決．

解答： 解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），

當a=﹣1時，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）=0，得x=1．

當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．

∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．

（2）∵f′（x）=m+，x∈（0，e]，

①若m≥0，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數，

∴f（x）max=f（e）=me+1≥0，不合題意．

②若m＜0，則由f′（x）＞0，即0＜x＜

由f′（x）＜0，即＜x≤e．

從而f（x）在（0，）上增函數，在（﹣，e]為減函數，

∴f（x）max=f（）=﹣1+ln（）

令﹣1+ln（）=﹣3，

∴m=e﹣2，

∵﹣e2＜，

∴m=﹣e2為所求．

（Ⅲ）∵g（x）=﹣f′（x），f′（x）=m+，f（x）=lnx+mx，

∴g（x）=﹣，

若x≥1時，有不等式g（x）≥恆成立，

∴k≤g（x）（x+1）=lnx+++1，

令h（x）=（x）（x+1）=lnx+++1，

∴h′（x）=＞恆大於0，

∴h（x）在[1，+∞）為增函數，

∴h（x）min=h（1）=2，

∴k≤2．

知識點：導數及其應用

題型：解答題