已知二次函數f（x）=x2﹣2x+3（Ⅰ）若函數的最小值為3，求實數m的值；（Ⅱ）若對任意互不相同的x1，x2...

問題詳情：

已知二次函數f（x）=x2﹣2x+3

（Ⅰ）若函數的最小值為3，求實數m的值；

（Ⅱ）若對任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

【解答】解（Ⅰ）令t=log3x+m，∵，∴t∈[m﹣1，m+1]，

從而y=f（t）=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，t∈[m﹣1，m+1]

當m+1≤1，即m≤0時，，

解得m=﹣1或m=1（捨去），

當m﹣1＜1＜m+1，即0＜m＜2時，ymin=f（1）=2，不合題意，

當m﹣1≥1，即m≥2時，，

解得m=3或m=1（捨去），

綜上得，m=﹣1或m=3，

（Ⅱ）不妨設x1＜x2，易知f（x）在（2，4）上是增函數，故f（x1）＜f（x2），

故|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|可化為f（x2）﹣f（x1）＜kx2﹣kx1，

即f（x2）﹣kx2＜f（x1）﹣kx1（*），

令g（x）=f（x）﹣kx，x∈（2，4），即g（x）=x2﹣（2+k）x+3，x∈（2，4），

則（*）式可化為g（x2）＜g（x1），即g（x）在（2，4）上是減函數，

故，得k≥6，

故k的取值範圍為[6，+∞）

知識點：基本初等函數I

題型：解答題