已知函數f(x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1(Ⅰ)求f(x)的最小正週期及對稱中心(Ⅱ)若x∈[﹣...
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問題詳情:
已知函數f(x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1
(Ⅰ)求f(x)的最小正週期及對稱中心
(Ⅱ)若x∈[﹣,],求f(x)的最大值和最小值.
【回答】
【考點】GL:三角函數中的恆等變換應用;H2:正弦函數的圖象.
【分析】(1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin(ωx+φ)的形式,即可求週期和對稱中心.
(2)x∈[﹣,]時,求出內層函數的取值範圍,結合三角函數的圖象和*質,求出f(x)的取值最大和最小值.
【解答】解:(1)函數f(x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1,
化簡可得:f(x)=cos2x﹣1+sin2x+1
=sin2x+cos2x=2sin(2x+).
∴f(x)的最小正週期T=,
由2x+=kπ(k∈Z)可得對稱中心的橫座標為x=kπ
∴對稱中心(kπ,0),(k∈Z).
(2)當x∈[﹣,]時,2x+∈[,]
當2x+=時,函數f(x)取得最小值為.
當2x+=時,函數f(x)取得最大值為2×1=2.
知識點:三角恆等變換
題型:解答題