已知a≥0，函數f(x)=(x2－2ax)ex.（Ⅰ）當x為何值時，f(x)取得最小值？*你的結論；（Ⅱ）設...

問題詳情：

已知a≥0，函數f(x)=(x2－2ax)ex.

（Ⅰ）當x為何值時，f(x)取得最小值？*你的結論；

（Ⅱ）設f(x)在[－1，1]上是單調函數，求a的取值範圍.

【回答】

解：（Ⅰ）對函數f(x)求導數，得

f＇(x)=(x2－2ax)ex+(2x－2a)ex=[x2+2(1－a)x－2a]ex,

令f＇(x)=0，得

[x2+2(1－a)x－2a]ex=0,從而x2+1(1－a)x－2a=0.

解得x1=a－1－，x2=a－1+，其中x1<x2，

當x變化時，f＇(x)，f(x)的變化如下表：

當f(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值.        

a≥0時，x1<－1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)為減函數，在(x2,+∞)為增函數.

而當x<0時，f(x)=x(x－2a)ex>0；當x=0時，f(x)=0，

所以當x=a－1+時，f(x)取得最小值.        

（Ⅱ）當a≥0時，f(x)在[－1，1]上為單調函數的充要條件是x2≥1，

即a－1+≥1，解得a≥,

綜上，f(x)在[－1，1]上為單調函數的充分必要條件為a≥，

即a的取值範圍是[，+∞]

知識點：導數及其應用

題型：計算題