已知函數f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;(ii)用...
問題詳情:
已知函數f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx
(i)當 a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;
(ii)用min {m,n }表示m,n中的最小值,設函數h(x)=min { f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點的個數.
【回答】
【分析】(i)f′(x)=3x2+a.設曲線y=f(x)與x軸相切於點P(x0,0),則f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.
(ii)對x分類討論:當x∈(1,+∞)時,g(x)=﹣lnx<0,可得函數h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零點的個數.
當x=1時,對a分類討論:a≥﹣,a<﹣,即可得出零點的個數;
當x∈(0,1)時,g(x)=﹣lnx>0,因此只考慮f(x)在(0,1)內的零點個數即可.對a分類討論:①當a≤﹣3或a≥0時,②當﹣3<a<0時,利用導數研究其單調*極值即可得出.
【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.
設曲線y=f(x)與x軸相切於點P(x0,0),則f(x0)=0,f′(x0)=0,
∴,解得,a=.
因此當a=﹣時,x軸為曲線y=f(x)的切線;
(ii)當x∈(1,+∞)時,g(x)=﹣lnx<0,
∴函數h(x)=min { f(x),g(x)}<0,
故h(x)在x∈(1,+∞)時無零點.
當x=1時,若a≥﹣,則f(1)=a+≥0,
∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函數h(x)的一個零點;
若a<﹣,則f(1)=a+<0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函數h(x)的零點;
當x∈(0,1)時,g(x)=﹣lnx>0,因此只考慮f(x)在(0,1)內的零點個數即可.
①當a≤﹣3或a≥0時,f′(x)=3x2+a在(0,1)內無零點,因此f(x)在區間(0,1)內單調,
而f(0)=,f(1)=a+,∴當a≤﹣3時,函數f(x)在區間(0,1)內有一個零點,
當a≥0時,函數f(x)在區間(0,1)內沒有零點.
②當﹣3<a<0時,函數f(x)在內單調遞減,在內單調遞增,故當x=時,f(x)取得最小值=.
若>0,即,則f(x)在(0,1)內無零點.
若=0,即a=﹣,則f(x)在(0,1)內有唯一零點.
若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,
∴當時,f(x)在(0,1)內有兩個零點.當﹣3<a時,f(x)在(0,1)內有一個零點.
綜上可得:a<時,函數h(x)有一個零點.
當時,h(x)有一個零點;
當a=或時,h(x)有兩個零點;
當時,函數h(x)有三個零點.
【點評】本題考查了導數的運算法則、利用導數的幾何意義研究切線方程、利用導數研究函數的單調*極值,考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力,屬於難題.
知識點:函數的應用
題型:解答題