已知函數f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））...
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問題詳情：
已知函數f（x）=ln（1+x）﹣x+
x2（k≥0）．
（Ⅰ）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．
【回答】
【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；6B：利用導數研究函數的單調*．
【分析】（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，然後求出切點座標，再用點斜式寫出直線方程，最後化簡成一般式即可；
（II）先求出導函數f'（x），討論k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四種情形，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【解答】解：（I）當K=2時，
由於
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為
．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0
（II）f'（x）=
﹣1+kx（x＞﹣1）
當k=0時，
因此在區間（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在區間（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的單調遞增區間為（﹣1，0），單調遞減區間為（0，+∞）；
當0＜k＜1時，
，得
；
因此，在區間（﹣1，0）和
上，f'（x）＞0；在區間
上，f'（x）＜0；
即函數f（x）的單調遞增區間為（﹣1，0）和
，單調遞減區間為（0，
）；
當k=1時，
．f（x）的遞增區間為（﹣1，+∞）
當k＞1時，由
，得
；
因此，在區間
和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區間
上，f'（x）＜0；
即函數f（x）的單調遞增區間為
和（0，+∞），單調遞減區間為
．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
