已知函數f(x)=aln(1+ex)﹣(a+1)x,(其中a>0),點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x...
問題詳情:
已知函數f(x)=aln(1+ex)﹣(a+1)x,(其中a>0),點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))從左到右依次是函數y=f(x)圖象上三點,且2x2=x1+x3.
(Ⅰ)*:函數f(x)在(﹣∞,+∞)上是減函數;
(Ⅱ)求*:△ABC是鈍角三角形;
(Ⅲ)試問△ABC能否是等腰三角形?若能,求△ABC面積的最大值;若不能,請説明理由.
【回答】
考點:
利用導數研究函數的單調*;數量積表示兩個向量的夾角;兩點間距離公式的應用.
專題:
計算題;綜合題;轉化思想.
分析:
(Ⅰ)∵f(x)=aln(1+ex)﹣(a+1)x,欲*函數f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調減函數,只須*其導數f′(x)<0即可;
(Ⅱ)先設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))且x1<x2<x3,欲*:△ABC是鈍角三角形,只須*其中一個內角為鈍角即可,結合向量的座標運算,只須*:即得;
(Ⅲ)假設△ABC為等腰三角形,則只能是,再利用平面內兩點的距離公式將點的座標代入計算,如出現矛盾,則△ABC不可能為等腰三角形,如不矛盾,則△ABC能是等腰三角形.
解答:
解:(Ⅰ)∵f(x)=aln(1+ex)﹣(a+1)x,∴恆成立,
所以函數f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調減函數.(3分)
(Ⅱ)*:據題意A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))且x1<x2<x3,
由(Ⅰ)知f(x1)>f(x2)>f(x3),x2=(4分)
可得A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))三點不共線
(反*法:否則,得x1=x3)
∴
∴(6分)
∵x1﹣x2<0,x3﹣x2>0,f(x1)﹣f(x2)>0,f(x3)﹣f(x2)<0,∴,∴
即△ABC是鈍角三角形(8分)
(Ⅲ)假設△ABC為等腰三角形,則只能是
即:(x1﹣x2)2+[f(x1)﹣f(x2)]2=(x3﹣x2)2+[f(x3)﹣f(x2)]2∵x2﹣x1=x3﹣x2∴[f(x1)﹣f(x2)]2=[f(x3)﹣f(x2)]2
即2f(x2)=f(x1)+f(x3)①(11分)
而事實上,②
由於,故(2)式等號不成立.這與(1)式矛盾.
所以△ABC不可能為等腰三角形.(13分)
點評:
本小題主要考查利用導數研究函數的單調*、數量積表示兩個向量的夾角、兩點間距離公式的應用等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.
知識點:導數及其應用
題型:解答題