已知函數f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函數h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex...
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問題詳情：
已知函數f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣
+ax．
（1）函數h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函數h（x）的最小值；
（2）對任意x∈上h'（x）≥0，h（x）遞增，h（x）的最小值為
．
【回答】
②當﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2時，在x∈上h'（x）≤0，h（x）為減函數，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）為增函數．
∴h（x）的最小值為h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．
③當a﹣1≥1即a≥2時，在上h'（x）≤0，h（x）遞減，h（x）的最小值為h（1）=（1﹣a）e+a．
綜上所述，當a≤0時h（x）的最小值為
，當0＜a＜2時h（x）的最小值為﹣ea﹣1+a，當a≥2時，h（x）最小值為（1﹣a）e+a．
（II）設
，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．
①當a≥0時，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）遞增，F（x）的最小值為F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．
②當a≤﹣1時，令
，解得：
，此時
∴
．∴F'（x）在[2，+∞）上遞減．∵F'（x）的最大值為F'（2）=a+1≤0，∴F（x）遞減．∴F（x）的最大值為F（2）=0，
即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．
③當﹣1＜a＜0時，此時
，當
時，F''（x）＞0，F'（x）遞增，當
時，F''（x）＜0，F'（x）遞減．
∴
=﹣ln（﹣a）＞0，又由於F'（2）=a+1＞0，
∴在
上F'（x）＞0，F（x）遞增，
又∵F（2）=0，所以在
上F（x）＞0，顯然不合題意．
綜上所述：a≤﹣1．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
