已知函數f（x）=x﹣lnx+a﹣1，g（x）= +ax﹣xlnx，其中a＞0．（1）求f（x）的單調區間；（...

問題詳情：

已知函數f（x）=x﹣lnx+a﹣1，g（x）=  +ax﹣xlnx，其中a＞0． （1）求f（x）的單調區間； （2）當x≥1時，g（x）的最小值大於  ﹣lna，求a的取值範圍．

【回答】

（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）．，

當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．

∴函數f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）

（2）解：易知g'（x）=x﹣lnx+a﹣1=f（x）．

由（1）知，f（x）≥f（1）=a＞0，

所以當x≥1時，g'（x）≥g'（1）=a＞0．

從而g（x）在[1，+∞）上單調遞增，

所以g（x）的最小值  ．

依題意得  ，即a+lna﹣1＞0．

令h（a）=lna+a﹣1，易知h（a）在（0，+∞）上單調遞增．

所以h（a）＞h（1）=0，所以a的取值範圍是（1，+∞）

知識點：導數及其應用

題型：解答題