已知定義在R上的函數f（x），若對於任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1...

問題詳情：

已知定義在R上的函數f（x），若對於任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那麼函數f（x）稱為“Ω函數”．給出下列函數：

①f（x）=cosx；

②f（x）=2x；

③f（x）=x|x|；

④f（x）=ln（x2+1）．

其中“Ω函數”的個數是（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

【回答】

B【考點】函數單調*的*質．

【專題】函數思想；綜合法；函數的*質及應用．

【分析】根據條件可以得到，對於任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，從而得出f（x）在R上為增函數，這樣根據餘弦函數，指數函數，二次函數，以及對數函數，複合函數的單調*判斷每個函數在R上的單調*，從而便可得出“Ω函數”的個數．

【解答】解：對於任意x1，x2∈R，且x1≠x2，x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恆成立；

∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恆成立；

∴f（x）在R上為增函數；

①f（x）=cosx在R上沒有單調*，∴該函數不是“Ω函數”；

②f（x）=2x在R上為增函數，∴該函數是“Ω函數”；

③；

∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，在（﹣∞，0）上單調遞增，且02=﹣02；

∴f（x）在R上為增函數，∴該函數是“Ω函數”；

④令x2+1=t，t≥1，則y=lnt在[1，+∞）上單調遞增，而t=x2+1在R上沒有單調*；

∴f（x）在R上沒有單調*，∴該函數不是“Ω函數”；

∴“Ω函數”的個數是2．

故選：B．

【點評】考查增函數的定義，餘弦函數、指數函數、二次函數，以及對數函數和複合函數的單調*，含絕對值函數的處理方法：去絕對值號，分段函數單調*的判斷．

知識點：基本初等函數I

題型：選擇題