已知函數f(x)的定義域為{x|x∈R,且x≠0}.對定義域內的任意x1、x2,都有,且當x>1時,,且 (...
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問題詳情:
已知函數f(x)的定義域為{x|x∈R,且x≠0}.對定義域內的任意x1、x2,都有,且當x>1時, ,且
(1) 求*:是偶函數;
(2) 求*:在(0,+∞)上是增函數;
(3)解不等式
【回答】
解析:(1)因對定義域內的任意x1﹑x2都有
f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x,x2=-1,則有f(-x)=f(x)+f(-1).
又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1).
再令x1=x2=1,得f(1)=0,從而f(-1)=0,
於是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數. …………4分
(2)設0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1·)=f(x1)-[f(x1)+f()]
=-f().
由於0<x1<x2,所以>1,從而f()>0,
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是增函數. …………8分
(3)由於f(2)=1,所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),
於是待解不等式可化為f(2x2-1)<f(4),
結合(1)(2)已*的結論,可得上式等價於
|2x2-1|<4,
解得{x|-<x<,且x≠0}. …………12分
知識點:不等式
題型:解答題