函數f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2...
來源:國語幫 2.3W
問題詳情:
函數f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶*並*你的結論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數,求x的取值範圍.
【回答】
試題分析:(1)抽象函數求具體指,用賦值法;(2)根據定義求*函數的奇偶*找f(-x)和f(x)的關係;(3)先利用f(4×4)=f(4)+f(4)=2得到f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).再根據單調*列出不等式求解即可.
(1)∵對於任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數.
(3)依題設有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函數,∴f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函數.∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1.
∴x的取值範圍是{x|-15<x<17且x≠1}.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題