設函數f(x)=x+（x≠0．且x，a∈R）．（1）判斷f(x)的奇偶*，並用定義*；（2）若不等式f(2x...

問題詳情：

設函數f (x)=x+（x≠0．且x，a∈R）．

（1）判斷f(x)的奇偶*，並用定義*；

（2）若不等式f(2x)＜-2x++6在[0，2]上恆成立，試求實數a的取值範圍；

（3）的值域為A. 函數f(x)在上的最大值為M，最小值為m，若2m>M成立，求正數a的取值範圍.

【回答】

解：（1）∵，定義域為

，

所以為奇函數. ………………………………3分

（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++6在[0，2]上恆成立，

即2x+＜﹣2x++6在[0，2]上恆成立，

即a＜﹣2（2x）2+1+62x在[0，2]上恆成立，……………5分

令t=2x，則t∈[1， 4]，y=﹣2t2+6t+1，

由y=﹣2t2+6t+1的圖象是開口朝下，且以直線t=為對稱軸的拋物線，

故當t=4，即x=2時，函數取最小值﹣7，故a＜﹣7；……………8分

（3）的值域為[，1]

即使得f(x)在區間[，1]上，恆有

討論：①時 y=，在[，1]上單調遞增

∴ymax=a+1，ymin=3a+

2ymin＞ymax 得……………………………………10分

②當＜a≤時，y=

在[，]上單調遞減，在[，1]上單調遞增，

∴ymin=2，ymax=max{3a+，a+1}=a+1，

由2ymin＞ymax得7﹣4＜a＜7+4，

∴＜a≤；

③當＜a＜1時，y=在[，]上單調遞減，在[，1]上單調遞增，

∴ymin=2，ymax=max{3a+，a+1}=3a+，

由2ymin＞ymax得＜a＜，

∴＜a＜1； …………………………………12分

④當a≥1時，y=在[，1]上單調遞減，

∴ymin=a+1，ymax=3a+，

由2ymin＞ymax得a＜，∴1≤a＜；

綜上，a的取值範圍是{a|＜a＜}．

知識點：不等式

題型：解答題