已知函數(為常數,是自然對數的底數),曲線在點處的切線與軸平行.(1)求的值;(2)求的單調區間;(3)設,其...
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問題詳情:
已知函數(為常數,是自然對數的底數),曲線在點處的切線與軸平行.
(1)求的值;
(2)求的單調區間;
(3)設,其中為的導函數.*:對任意.
【回答】
(1);(2)單調遞增區間為;單調遞減區間為;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據題意分析可能曲線在點處的切線與軸平行,等價於,從而;(2)由(1)可知,只需考慮分子的正負*即可,而,在上單調遞減,再由,故當時,,,單調遞增;當時,,,單調遞減,∴單調遞增區間為;單調遞減區間為;(3),這是一指對相結合的函數,混在一起考慮其單調*比較複雜,因此考慮分開研究各自的取值情況:記,,,令,得,
當時,,單調遞增;當時,,單調遞減,
∴,即.
② 記,,,∴在上單調遞減,
∴,即,綜合①,②可知,.
試題解析:(1),依題意,為所求;
(2)由(1)可知,,記,,
∴在上單調遞減,又∵,
∴當時,,,單調遞增;當時,,,單調遞減,∴單調遞增區間為;單調遞減區間為;
(3),
① 記,,,令,得,
當時,,單調遞增;當時,,單調遞減,
∴,即.
② 記,,,∴在上單調遞減,
∴,即,綜合①,②可知,.
知識點:導數及其應用
題型:綜合題