已知函數()的圖象在處的切線為(為自然對數的底數)(1)求的值;(2)若,且對任意恆成立,求的最大值.
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問題詳情:
已知函數()的圖象在處的切線為(為自然對數的底數)
(1)求的值;
(2)若,且對任意恆成立,求的最大值.
【回答】
(1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】(1)對求導得,根據函數的圖象在處的切線為,列出方程組,即可求出的值;(2)由(1)可得,根據對任意恆成立,等價於對任意恆成立,構造,求出的單調*,由, , , ,可得存在唯一的零點,使得,利用單調*可求出,即可求出的最大值.
(1), .
由題意知.
(2)由(1)知: ,
∴對任意恆成立
對任意恆成立
對任意恆成立.
令,則.
由於,所以在上單調遞增.
又, , , ,
所以存在唯一的,使得,且當時, , 時, . 即在單調遞減,在上單調遞增.
所以.
又,即,∴.
∴.
∵,∴ .
又因為對任意恆成立,
又,∴ .
點睛:利用導數研究不等式恆成立或存在型問題,首先要構造函數,利用導數研究函數的單調*,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值範圍;也可分離變量,構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題