已知函數，其中，為自然對數的底數.（1）若在上恆成立，求實數的取值範圍；（2）當，時，①*：函數恰有一個零點...
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問題詳情：
已知函數
，其中
，
為自然對數的底數.
（1）若
在
上恆成立，求實數
的取值範圍；
（2）當
，
時，
①*：函數
恰有一個零點；
②設
為
的極值點，
為
的零點，*：
.
參考數據：
【回答】
解：（1）若
在
恆成立，即
恆成立，
令
.
當
時，
；當
時，
.
即
在
上單調遞減；在
上單調遞增.
故
.
（2）當
時，
，
①（i）當
時，
，即
在
上沒有零點.
（ii）當
時，令
，則
，
所以
在
上單調遞增，
，
，
所以
在
上存在唯一實根
，故
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
又因為
，
，
，
所以
在
上有且只有一個零點
.
綜上，函數
在
上恰有一個零點；
②因為
為
的極值點，所以
，即
.
因為
的導函數為
在
上恆成立，所以
在
上單調遞減，因此
恆成立，
即
對任意
成立，所以
，
，
所以有
，即有
成立.
令
，
，
，所以
在
上單調遞增，
，
，
在
上有且僅有一個零點，設為
.
而
，所以
，故
.
由①
，所以
，
故
.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
