已知定義域為的函數是奇函數．（1）求，的值；（2）用定義*在上為減函數；（3）若對於任意，不等式恆成立，求的...
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問題詳情：
已知定義域為
的函數
是奇函數．
（1）求
，
的值；
（2）用定義*
在
上為減函數；
（3）若對於任意
，不等式
恆成立，求
的範圍．
【回答】
（1）
，
；（2）*見解析；（3）
.
【解析】
（1）根據奇函數定義，利用
且
，列出關於
、
的方程組並解之得
；
（2）根據函數單調*的定義，任取實數
、
，通過作差因式分解可*出：當
時，
，即得函數
在
上為減函數；
（3）根據函數的單調*和奇偶*，將不等式
轉化為：
對任意的
都成立，結合二次函數的圖象與*質，可得
的取值範圍．
【詳解】
解：（1）
為
上的奇函數，
，可得
又
（1）
，解之得
經檢驗當
且
時，
，滿足
是奇函數．
（2）由（1）得
，
任取實數
、
，且
則
，可得
，且
，即
，函數
在
上為減函數；
（3）根據（1）（2）知，函數
是奇函數且在
上為減函數．
不等式
恆成立，即
也就是：
對任意的
都成立．
變量分離，得
對任意的
都成立，
，當
時有最小值為
，即
的範圍是
．
【點睛】
本題以含有指數式的分式函數為例，研究了函數的單調*和奇偶*，並且用之解關於
的不等式，考查了基本初等函數的簡單*質及其應用，屬於中檔題．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
