已知定義域為的函數是奇函數.（1）求的值；（2）判斷並用定義*的單調*；（3）若對任意的，不等式恆成立，求實...
來源：國語幫 1.93W
問題詳情：
已知定義域為
的函數
是奇函數.
（1）求
的值；
（2）判斷並用定義*
的單調*；
（3）若對任意的
，不等式
恆成立，求實數
的取值範圍.
【回答】
（1）
（2）在
上是增函數，*見解析 （3）
【解析】
（1）利用f（1）+f（﹣1）＝0，即可解得a的值，並利用定義檢驗即可；
（2）判斷：單調遞增．設x1∈R，x2∈R且x1＜x2，只要*f（x1）﹣f（x2）＜0，即可；
（3）利用函數f（x）的奇偶*和單調*可得：對任意的
，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恆成立⇔mt2+1＞mt﹣1對任意的
恆成立．對m分類討論和利用二次函數的*質即可得出．
【詳解】（1）由f（1）+f（﹣1）＝0，得
．
檢驗：a＝2時，
，
∴f（x）+f（﹣x）＝0對x∈R恆成立，即f（x）是奇函數．
（2）判斷：單調遞增．
*：設x1∈R，x2∈R且x1＜x2，
則f（x1）﹣f（x2）
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在R上是增函數．
（3）∵f（x）是奇函數，∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt﹣1），
∵f（x）在R上是增函數，∴對任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恆成立，
即mt2+1＞mt﹣1對任意的t∈R恆成立，
即mt2﹣mt+2＞0對任意的t∈R恆成立．
m＝0時，不等式即
2＞0恆成立，合題意；
m≠0時，有
即0＜m＜8．
綜上：實數m的取值範圍為0≤m＜8
【點睛】本題綜合考查了函數的奇偶*和單調*、“三個二次的關係”、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬於難題．
知識點：*與函數的概念
題型：解答題
