已知是定義在R上不恆為0的函數，請滿足對任意．．（1）求的零點；（2）判斷的奇偶*和單調*，並説明理由；（3）...
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問題詳情：
已知
是定義在R上不恆為0的函數，請滿足對任意
．
．
（1）求
的零點；
（2）判斷
的奇偶*和單調*，並説明理由；
（3）①當
時，求
的解析式；
②當
時，求
的解析式．
【回答】
（1）0；（2）奇函數，遞增，理由見解析；（3）①
；②
．
【分析】
（1）記
，取
得
．若存在
，使得
，則對任意
，通過
，説明函數的零點是0．
（2）在
中取
，推出
，
，即可*函數是奇函數．利用函數的單調*的定義*即可．
（3）①由
中取
，
，推出
（1）
，轉化
，結合奇偶*可得
；
②先*對任意有理數
，
，
．若存在
，使得
，不妨設
（否則以
代替
，
代替
即可），然後推出矛盾結論，得到結果．
【詳解】
（1）記
①，
②，
在①中取
得
．
若存在
，使得
，
則對任意
，
，
與
不恆為0矛盾．
所以
時，
，所以函數的零點是0
（2）在①中取
得
，
即
．
所以
是奇函數．
，
，
時，
，可得
．
所以函數
在
上遞增．
（3）①由
中取
，
得
（1）
（1）
．
因為
（1）
，所以
（1）
，
對任意正整數
，由①，
，
，
又因為
，所以
時，
；
②對任意有理數
，
，由①，
，
所以
，即對一切
，
．
若存在
，使得
，不妨設
（否則以
代替
，
代替
即可），
則存在有理數
，使得
（例如可取
，
，
．
但
，與
的遞增*矛盾．
所以
時，
．
【點睛】
判斷函數的奇偶*，其中包括兩個必備條件：
(1)定義域關於原點對稱，這是函數具有奇偶*的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷
與
是否具有等量關係．
在判斷奇偶*的運算中，可以轉化為判斷奇偶*的等價關係式
(奇函數)或
(偶函數)是否成立．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
