已知（且m為常數）.（1）討論函數的單調*；（2）若對任意的，都存在，使得（其中e為自然對數的底數），求實數k...
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問題詳情：
已知
（
且m為常數）.
（1）討論函數
的單調*；
（2）若對任意的
，都存在
，使得
（其中e為自然對數的底數），求實數k的取值範圍.
【回答】
（1）當
時，
遞增區間是
，無遞減區間，當
時，
遞增區間是
，遞減區間是
；（2）
.
【分析】
（1）求出
，對
分類討論，求出
的解，就可得出結論；
（2）設
，所求的問題轉化為
，通過求導數法，求出
取最大值時自變量
與
的關係，而對任意的
都成立，將
用
表示，構造新函數，再求導求出新函數的最小值，即可求出結論.
【詳解】
（1）
的定義域為
，
，當
時，
恆成立，
當
時，
，
綜上，當
時，
遞增區間是
，無遞減區間，
當
時，
遞增區間是
，遞減區間是
；
（2）設
，依題意
，
，令
，
恆成立，
在
是減函數，
即
在
是減函數，
，
，存在唯一
，使得
，
當
，
遞增區間是
，遞減區間是
，
取得極大值，也是最大值為
，
，
對於對任意的
恆成立，
其中
，
，
即
，
對於對任意的
恆成立，
設
，
，
時，
，
，當
，
時，
取得極小值，也是最小值，
即
.
【點睛】
本題考查導數的綜合應用，涉及到函數的單調*、極值最值、零點、存在成立、恆成立，解題的關鍵要不斷構造函數，考查計算求解能力和邏輯推理能力，是一道難題.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
