已知函數，其中為自然對數的底數，．（1）討論函數的單調*，並寫出相應的單調區間；（2）已知，，若對任意都成立...
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問題詳情：
已知函數
，其中
為自然對數的底數，
．
（1）討論函數
的單調*，並寫出相應的單調區間；
（2）已知
，
，若
對任意
都成立，求
的最大值；
（3）設
，若存在
，使得
成立，求
的取值範圍．
【回答】
解：（1）由
，知
．
若
，則
恆成立，所以
在
上單調遞增；
若
，令
，得
，
當
時，
，當
時，，
所以在
上單調遞減；在
上單調遞增．
（2）由（1）知，當
時，
．
因為
對任意
都成立，所以
， 所以
．
設
，（
），由
，
令
，得
，
當
時，
，所以
在
上單調遞增；
當
時，
，所以
在
上單調遞減，
所以在
處取最大值，且最大值為
．
所以
，若且唯若，
時，
取得最大值為
．
（3）設
，即
題設等價於函數
有零點時的
的取值範圍．
① 當
時，由
，
，所以
有零點．
② 當
時，若
，由
，得
；
若
，由（1）知，
，所以無零點．
③ 當
時，
，
又存在
，
，所以有零點．
綜上，
的取值範圍是或．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
