已知函數，其中．（1）討論函數的單調*；（2）設，若對於任意的，，有，求實數的取值範圍．

問題詳情：

已知函數，其中．

（1）討論函數的單調*；

（2）設，若對於任意的，，有，求實數的取值範圍．

【回答】

解：（1）函數的定義域為，

．

①若，則當時，，所以函數在區間上單調遞減；當時，，所以函數在區間上單調遞增．

②若，則當或時，，所以函數在區間，上均單調遞增；當時，，所以函數在區間上單調遞減．

③若，則當時，，所以函數在區間上單調遞增．

④若，則當或時，，所以函數在區間，上均單調遞增；當時，，所以函數在區間上單調遞減．

綜上所述，

當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

當時，函數在區間，上均單調遞增，在區間上單調遞減；

當時，函數在區間上單調遞增；

當時，函數在區間，上均單調遞增，在區間上單調遞減．

（2）不妨設，

則可化為．

令，則函數在區間上單調遞增．

所以在區間上恆成立．

即在區間上恆成立．（*）

因為，所以，

所以，要使（*）成立，只需，

解得．

故所求實數的取值範圍為．

知識點：導數及其應用

題型：解答題