已知函數，，其中a>1.（I）求函數的單調區間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，*；...
問題詳情：
已知函數
，
，其中a>1.
（I）求函數
的單調區間；
（II）若曲線
在點
處的切線與曲線
在點
處的切線平行，*
；
（III）*當
時，存在直線l，使l是曲線
的切線，也是曲線
的切線.
【回答】
(Ⅰ)單調遞減區間
，單調遞增區間為
；(Ⅱ)*見解析；(Ⅲ)*見解析.
【解析】
分析：（I）由題意可得
.令
，解得x=0.據此可得函數
的單調遞減區間
，單調遞增區間為
.
（II）曲線
在點
處的切線斜率為
.曲線
在點
處的切線斜率為
.原問題等價於
.兩邊取對數可得
.
（III）由題意可得兩條切線方程分別為l1：
.l2：
.則原問題等價於當
時，存在
，
，使得l1和l2重合.轉化為當
時，關於x1的方程
存在實數解，構造函數，令
，結合函數的*質可知存在唯一的x0，且x0>0，使得
，據此可*得存在實數t，使得
，則題中的結論成立.
詳解：（I）由已知，
，有
.
令
，解得x=0.
由a>1，可知當x變化時，
，
的變化情況如下表：
x |
| 0 |
|
|
| 0 | + |
|
| 極小值 |
|
所以函數
的單調遞減區間為
，單調遞增區間為
.
（II）由
，可得曲線
在點
處的切線斜率為
.
由
，可得曲線
在點
處的切線斜率為
.
因為這兩條切線平行，故有
，即
.
兩邊取以a為底的對數，得
，所以
.
（III）曲線
在點
處的切線l1：
.
曲線
在點
處的切線l2：
.
要*當
時，存在直線l，使l是曲線
的切線，也是曲線
的切線，
只需*當
時，存在
，
，使得l1和l2重合.
即只需*當
時，方程組
有解，
由①得
，代入②，得
. ③
因此，只需*當
時，關於x1的方程③存在實數解.
設函數
，
即要*當
時，函數
存在零點.
，可知
時，
；
時，
單調遞減，
又
，
，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得
，即
.
由此可得
在
上單調遞增，在
上單調遞減.
在
處取得極大值
.
因為
，故
，
所以
.
下面*存在實數t，使得
.
由（I）可得
，
當
時，
有
，
所以存在實數t，使得
因此，當
時，存在
，使得
.
所以，當
時，存在直線l，使l是曲線
的切線，也是曲線
的切線.
點睛：導數是研究函數的單調*、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯繫． (2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調*；已知單調*，求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題． (4)考查數形結合思想的應用．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
