設函數，已知曲線在點處的切線與直線平行（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然數，使得方程在內存在唯一的根？如果存在，...
來源：國語幫 1.1W
問題詳情：
設函數
，
已知曲線
在點
處的切線與直線
平行
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）是否存在自然數
，使得方程
在
內存在唯一的根？
如果存在，求出；如果不存在，請説明理由。
（Ⅲ）設函數
（
表示
中的較小者），
求
的最大值。
【回答】
解：（Ⅰ）由題意知，曲線
在點
處的切線斜率為2，所以
，又
，所以
------2分
（Ⅱ）
時，方程
在
內存在唯一的根，
設
當
時，
，又
，所以存在
，
使
，因為
，所以當
時，
，當
，
，所以當
時，
單調遞增，
所以
時，方程
在
內存在唯一的根. ------7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在內存在唯一的根
，且
時，
，
時，
，所以
當
時，若，若
，由
，
可知
，故
當時，由當
，可得
時，
，
單調遞增；
時，
，單調遞減；可知
，
且
，綜上可得：函數的最大值為
.------12分
知識點：導數及其應用
題型：解答題
