已知函數，．（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數．
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問題詳情：
已知函數
，
．
（1）當
為何值時，
軸為曲線
的切線；
（2）用
表示
中的最小值，設函數
，討論
零點的個數．
【回答】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）當
或
時，
由一個零點；當
或
時，
有兩個零點；當
時，
有三個零點.
【詳解】
試題分析：（Ⅰ）先利用導數的幾何意義列出關於切點的方程組，解出切點座標與對應的
值；（Ⅱ）根據對數函數的圖像與*質將
分為
研究
的零點個數，若零點不容易求解，則對
再分類討論.
試題解析：（Ⅰ）設曲線
與
軸相切於點
，則
，
，即
，解得
.
因此，當
時，
軸是曲線
的切線.
（Ⅱ）當
時，
，從而
，
∴
在（1，+∞）無零點.
當
=1時，若
，則
，
,故
=1是
的零點；若
，則
，
,故
=1不是
的零點.
當
時，
，所以只需考慮
在（0,1）的零點個數.
（ⅰ）若
或
，則
在（0,1）無零點，故
在（0,1）單調，而
，
，所以當
時，
在（0，1）有一個零點；當
0時，
在（0，1）無零點.
（ⅱ）若
，則
在（0，
）單調遞減，在（
，1）單調遞增，故當
=
時，
取的最小值，最小值為
=
.
①若
＞0，即
＜
＜0，
在（0,1）無零點.
②若
=0，即
，則
在（0,1）有唯一零點；
③若
＜0，即
，由於
，
，所以當
時，
在（0,1）有兩個零點；當
時，
在（0,1）有一個零點.…10分
綜上，當
或
時，
由一個零點；當
或
時，
有兩個零點；當
時，
有三個零點.
考點：利用導數研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數的零點；分類整合思想
知識點：導數及其應用
題型：解答題
