（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE於點P，求*：；（2...

問題詳情：

（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE於點P，求*：；

（2） 如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE於M，N兩點．

①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；

②如圖3，求*MN2=DM·EN．

【回答】

（1）*見解析；（2）①；②*見解析．

【解析】

【分析】

（1）易*△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出；

（2）①根據等腰直角三角形的*質和勾股定理，求出BC邊上的高，根據△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長．從而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN邊上高，△AGF的GF邊上高，GF=，根據 MN：GF等於高之比即可求出MN；

②可得出△BGD∽△EFC，則DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根據（1），從而得出結論．

【詳解】

解：（1）在△ABQ和△ADP中，

∵DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴，

同理在△ACQ和△APE中，，

∴；

（2）①作AQ⊥BC於點Q．

∵BC邊上的高AQ=，

∵DE=DG=GF=EF=BG=CF

∴DE：BC=1：3

又∵DE∥BC

∴AD：AB=1：3，

∴AD=，DE=，

∵DE邊上的高為，MN：GF=：，

∴MN：=：，

∴MN=．

故*為：．

②*：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC，

∴，

∴DG•EF=CF•BG，

又∵DG=GF=EF，

∴GF2=CF•BG，

由（1）得，

∴，

∴，

∵GF2=CF•BG，

∴MN2=DM•EN．

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和*質以及正方形的*質，是一道綜合題目，難度較大．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題