如圖，在▱ABCD中，AC，BD交於點O，且AO＝BO．（1）求*：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平...
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問題詳情：
如圖，在▱ABCD中，AC，BD交於點O，且AO＝BO．
（1）求*：四邊形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分線DE交AB於點E，當AD＝3，tan∠CAB＝
時，求AE的長．
【回答】
（1）見解析；（2）
.
【分析】
(1)由平行四邊形*質和已知條件得出AC＝BD，即可得出結論；
(2)過點E作EG⊥BD於點G，由角平分線的*質得出EG＝EA．由三角函數定義得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝
，設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函數定義得出
，即可得出*．
【詳解】
(1)*：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴平行四邊形ABCD為矩形．
(2)過點E作EG⊥BD於點G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE為∠ADB的角平分線，
∴EG＝EA．
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD．
∵AD＝3，tan∠CAB＝
，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝
＝
．
∴AB＝4．
∴BD＝
，sin∠CAB＝sin∠ABD＝
．
設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD＝
．
解得：x＝
，
∴AE＝
．
故*為：
.
【點睛】
本題考查了矩形的判定與*質、角平分線的*質、勾股定理、三角函數定義等知識；熟練掌握矩形的判定與*質和三角函數定義是解題的關鍵．
知識點：特殊的平行四邊形
題型：解答題
