1. 如圖，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊於點E，對角線AC與半圓O...

來源：國語幫 2.84W

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊於點E，對角線AC與半圓O的另一個交點為P，連接AE．（1）求*：AE是半圓O的切線；（2）若PA=2，PC=4，求AE的長．

【回答】

（1）*：∵在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90°， ∵OE⊥OA， ∴∠AOE=90°， ∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°， ∴∠BAO=∠COE， ∴△ABO∽△OCE， ∴=， ∵OB=OC， ∴， ∵∠ABO=∠AOE=90°， ∴△ABO∽△AOE， ∴∠BAO=∠OAE，過O作OF⊥AE於F， ∴∠ABO=∠AFO=90°，在△ABO與△AFO中，， ∴△ABO≌△AFO（AAS）， ∴OF=OB， ∴AE是半圓O的切線；（2）解：∵AF是⊙O的切線，AC是⊙O的割線， ∴AF2=AP•AC， ∴AF==2， ∴AB=AF=2， ∵AC=6， ∴BC==2， ∴AO==3， ∵△ABO∽△AOE， ∴， ∴=， ∴AE=．【解析】

（1）根據已知條件推出△ABO∽△OCE，根據相似三角形的*質得到∠BAO=∠OAE，過O作OF⊥AE於F，根據全等三角形的*質得到OF=OB，於是得到AE是半圓O的切線；（2）根據切割線定理得到AF==2，求得AB=AF=2，根據勾股定理得到BC==2，AO==3，根據相似三角形的*質即可得到結論．本題考查了切線的判定和*質，矩形的*質，相似三角形的判定和*質，全等三角形的判定和*質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．