平面上，Rt△ABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圓O交BC邊於...
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問題詳情：
平面上，Rt△ABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圓O交BC邊於點D，將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉，點D隨半圓O旋轉且∠ECD始終等於∠ACB，旋轉角記為α（0°≤α≤180°）
（1）當α=0°時，連接DE，則∠CDE= °，CD= ；
（2）試判斷：旋轉過程中
的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出*；
（3）若m=10，n=8，當α=∠ACB時，求線段BD的長；
（4）若m=6，n=4
，當半圓O旋轉至與△ABC的邊相切時，直接寫出線段BD的長．
【回答】
【解答】解：（1）∵CE是半圓O的直徑，
∴∠CDE=90°，
∵∠B=90°，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴
，
∵AC=2CE，BC=n，
∴CD=
•CB=
，
故*為90，
；
（2）∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE∽△BCD，
∴
=
；
（3）在Rt△ABC中，
∵AC=10，BC=8，根據勾股定理得，AB=6，
在Rt△ABE中，BE=BC﹣CE=3，
∴AE=
=3
，
由（2）知，△ACE∽△BCD，
∴
，
∴
，
∴BD=
（4）∵m=6，n=4
，
∴CE=3，CD=2
，根據勾股定理得，AB=2，
①當α=90°時，半圓O與AC相切，[來源:學科網]
在Rt△ABC中，BD=
=2
，
②當α=90°+∠ACB時，∠BCE=90°時，半圓O與BC相切，
如圖，過點E作EM⊥AB與AB的延長線於M，
∵BC⊥AB，
∴四邊形BCEM為矩形，
∴BM=EC=3，ME=4
，
∴AM=5，
在Rt△AME中，AE=
=
，
由（2）知，
=
=
，
∴BD=
AE=
．
即：BD=2
或
．
知識點：相似三角形
題型：解答題
