如圖，在四邊形中，，，點在上，且，，現將沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為，（1）求*：平面平面；（...
來源：國語幫 2.03W
問題詳情：
如圖，在四邊形
中，
，
，點
在
上，且
，
，現將
沿
折起，使點
到達點
的位置，且
與平面
所成的角為
，
（1）求*：平面
平面
；
（2）求二面角
的餘弦值.
【回答】
【詳解】（1）*：∵AB
CD，AB
BE，∴CD//EB，
∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC=C，
∴EB⊥平面PBC，
又∵EB
平面DEBC，∴平面PBC 
平面DEBC；
（2）由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，
由PE與平面PBC所成的角為45°得∠EPB=45°，
∴△PBE為等腰直角三角形，∴PB=EB，
∵AB//DE，結合CD//EB 得BE=CD=2，
∴PB=2，故△PBC為等邊三角形，
取BC的中點O，連結PO，
∵ PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，
以O為座標原點，過點O與BE平行的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角座標系如圖，
則
，
，
從而
,
, 
，
設平面PDE的一個法向量為
，平面PEB的一個法向量為
，
則由
得
，令
得
，
由
得
，令
得
，
設二面角D-PE-B的大小為
，則
，
即二面角D-PE-B的餘弦值為
.
【點睛】
利用法向量求解空間線面角的關鍵在於“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角座標系；第二，破“求座標關”，準確求解相關點的座標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
