如圖，已知矩形中，，點是的中點，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角．（1）*：平面；（2）求二面角的餘弦值...

問題詳情：

如圖，已知矩形中，，點是的中點，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角．

（1）*：平面；

（2）求二面角的餘弦值．

【回答】

【詳解】（1）∵，點是的中點，

∴，都是等腰直角三角形，

∴，即..

又∵二面角是直二面角，即平面平面，

平面平面，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴，

又∵，平面，，

∴平面.

（2）如圖，取的中點，連接，

∵，∴，

∵平面平面，平面平面，

平面，

∴平面，

過點作，交於，

∵，∴，

以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示座標系，

則，，，，

∴，，，

設為平面的一個法向量，則

，即，取，則，∴，

又平面，∴為平面的一個法向量，

所以，即二面角的餘弦值為.

【點睛】本題的核心在考查空間向量的應用，需要注意以下問題：

(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算．

(2)設分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補或相等.求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是鋭角還是鈍角．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題