如圖，在四稜錐中，⊥平面，四邊形是菱形，，，且交於點，是上任意一點．（1）求*：；（2）若為的中點，且二面角的...
來源：國語幫 3.05W
問題詳情：
如圖，在四稜錐
中，
⊥平面
，四邊形
是菱形，
，
，且
交於點
，
是
上任意一點．
（1）求*：
；
（2）若
為
的中點，且二面角
的餘弦值為
，求
與平面
所成角
的正弦值．
【回答】
解：（1）因為DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，
因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因為DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE． （4分）
（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，
所以EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角座標系， （5分）
設PD=t，則A（1，0，0），B（0，
，0），C（﹣1，0，0），
E（0，0，），P（0，﹣
，t）．
設平面PAB的一個法向量為
（x，y，z），
則
，令
，得
，
平面PBD的法向量
（1，0，0），
因為二面角A﹣PB﹣D的餘弦值為
，所以
，
所以
或
（舍）， （9分）
則
∴
，∴EC與平面PAB所成角
的正弦值為
．
（12分）
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
