如圖1,拋物線與x軸交於點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交於點C(0,﹣3),拋物線頂點為D,連接AC,...
問題詳情:
如圖1,拋物線與x軸交於點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交於點C(0,﹣3),拋物線頂點為D,連接AC,BC,CD,BD,點P是x軸下方拋物線上的一個動點,作PM⊥x軸於點M,設點M的橫座標為m.
(1)求拋物線的解析式及點D的座標;
(2)試探究是否存在這樣的點P,使得以P,M,B為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由;
(3)如圖2,PM交線段BC於點Q,過點P作PE∥AC交x軸於點E,交線段BC於點F,請用含m的代數式表示線段QF的長,並求出當m為何值時QF有最大值.
【回答】
【解析】(1)設拋物線解析式為:y=a(x+1)(x﹣3),
將C(0,-3),代入可得:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣2x﹣3,
根據頂點座標公式得出D的座標為
∴點D的座標為(1,﹣4);
(2)由(1)知,點B、C、D的座標分別為(3,0)、(0,﹣3)、(1,﹣4),
則BC=3 ,CD=,BD=,
則△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,
①當△PMB∽△BCD時,
則∠MPB=∠DBC,即:tan∠MPB=tan∠DBC= ,
∵點M(m,0),則點P(m,m2﹣2m﹣3),
tan∠MPB=,
解得:m=2或3(捨去3),
故點P(2,﹣3);
②當△BMP∽△BCD時,
同理可得:點P(﹣,﹣);
故點P的座標為:(2,﹣3)或(﹣,﹣);
(3)設QF為y,作FH⊥PM於點H,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°
則FH=QH=y,
∵PE∥AC,PM∥OC,則∠PEM=∠HFP=∠CAO,
∴△FHP∽△AOC,則PH=3FH=y,
∴PQ==2y,
根據點B、C的座標求出直線BC的表達式為:y=x﹣3,
則點P(m,m2﹣2m﹣3),點Q(m,m﹣3),
所以PQ=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,即:2y=﹣m2+3m,
則y=,.
∴當m=時,QF有最大值.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題