如圖，在平面直角座標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設直線l與圓O相切...
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問題詳情：
如圖，在平面直角座標系
中，橢圓C過點
，焦點
，圓O的直徑為
．
（1）求橢圓C及圓O的方程；
（2）設直線l與圓O相切於第一象限內的點P．
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的座標；
②直線l與橢圓C交於
兩點．若
的面積為
，求直線l的方程．
【回答】
（1）
，
；（2）
【解析】
分析：（1）根據條件易得圓的半徑，即得圓的標準方程，再根據點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先根據直線與圓相切得一方程，再根據直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點座標.第二問先根據三角形面積得三角形底邊邊長，再結合①中方程組，利用求根公式以及兩點間距離公式，列方程，解得切點座標，即得直線方程.
詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為
，
可設橢圓C的方程為
．又點
在橢圓C上，
所以
，解得
因此，橢圓C的方程為
．
因為圓O的直徑為
，所以其方程為
．
（2）①設直線l與圓O相切於
，則
，
所以直線l的方程為
，即
．
由
，消去y，得
．（*）
因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，
所以
．
因為
，所以
．
因此，點P的座標為
．
②因為三角形OAB的面積為
，所以
，從而
．
設
，
由（*）得
，
所以
．
因為
，
所以
，即
，
解得
捨去），則
，因此P的座標為
．
綜上，直線l的方程為
．
點睛：直線與橢圓的交點問題的處理一般有兩種處理方法：一是設出點的座標，運用“設而不求”思想求解；二是設出直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理求出交點座標，適用於已知直線與橢圓的一個交點的情況.
知識點：圓與方程
題型：解答題
