設橢圓C：的離心率e＝，左頂點M到直線＝1的距離d＝，O為座標原點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓...
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問題詳情：
設橢圓C：
的離心率e＝
，左頂點M到直線
＝1的距離d＝
，O為座標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C相交於A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過座標原點，*：點O到直線AB的距離為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB的面積S的最小值．
【回答】
【解答】解：（Ⅰ）由已知得
，又a2＝b2+c2，
解得a＝2，b＝1，c＝
，
∴橢圓C的方程為
．
（Ⅱ）*：設A（x1，y1），B（x2，y2），
①當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱*知x1＝x2，y1＝﹣y2，
∵以AB為直線的圓經過座標原點，∴
＝0，
∴x1x2+y1y2＝0，∴
，
又點A在橢圓C上
，
解得|x1|＝|y1|＝
．
此時點O到直線AB的距離
．
（2）當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y＝kx+m，
聯立
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
∵以AB為直徑的圓過座標原點O，∴OA⊥OB，
∴
＝x1x2+y1y2＝0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，
∴（1+k2）•
，
整理，得5m2＝4（k2+1），
∴點O到直線AB的距離
＝
，
綜上所述，點O到直線AB的距離為定值
．
（3）設直線OA的斜率為k0，
當k0≠0時，OA的方程為y＝k0x，OB的方程為y＝﹣
，
聯立
，得
，同理，得
，
∴△AOB的面積S＝
＝2
，
令1+
＝t，t＞1，
則S＝2
＝2
，
令g（t）＝﹣
+
+4＝﹣9（
）2+
，（t＞1）
∴4＜g（t）
，∴
，
當k0＝0時，解得S＝1，
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
