如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求*：△ABC≌△ADE...

問題詳情：

如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．

（1）求*：△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度數；

（3）求*：CD=2BF+DE．

【回答】

（1）*見解析；（2）∠FAE=135°；（3）*見解析.

【分析】

（1）根據已知條件易*∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根據SAS即可*得△ABC≌△ADE；

（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根據等腰三角形的*質及三角形的內角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根據全等三角形的*質可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度數；

（3）延長BF到G，使得FG=FB，易*△AFB≌△AFG，根據全等三角形的*質可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS*得△CGA≌△CDA，由全等三角形的*質可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．

【詳解】

（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，

∴∠E=45°，

由（1）知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°，

∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；

（3）延長BF到G，使得FG=FB，

∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

在△CGA和△CDA中，

，

∴△CGA≌△CDA，

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE．

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與*質，解決第3問需作輔助線，延長BF到G，使得FG=FB，*得△CGA≌△CDA是解題的關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題