(1)求拋物線的函數表達式；(2)分別求出點B和點E的座標；(3)若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其座標為(...

問題詳情：

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)分別求出點B和點E的座標；

(3)若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其座標為(0，m)，直線PB與直線l交於點Q.試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

第8題圖

【回答】

解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－8經過點A(－2，0)，D(6，－8)，

∴將A、D兩點的座標代入得，

解得，

∴拋物線的函數表達式為y＝x2－3x－8；

(2)∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，

又∵拋物線與x軸交於A，B兩點，點A的座標為(－2，0)，

∴點B的座標為(8，0)．

設直線l的函數表達式為y＝kx，

∵點D(6，－8)在直線l上，

代入得6k＝－8，解得k＝－，

∴直線l的函數表達式為y＝－x，

∵點E為直線l和拋物線對稱軸的交點，

∴點E的橫座標為3，縱座標為－×3＝－4，即點E的座標為(3，－4)；

(3)需分兩種情況進行討論：

①當OP＝OQ時，△OPQ是等腰三角形，如解圖①，

第8題解圖①

∵點E的座標為(3，－4)，

∴OE＝＝5，

過點E作直線ME∥PB，交y軸於點M，交x軸於點H，

則＝，

∴OM＝OE＝5，

∴點M的座標為(0，－5)，

設直線ME的函數表達式為y＝k1x－5，E（3，-4）在直線ME上，

∴3k1－5＝－4，解得k1＝，

∴直線ME的函數表達式為y＝x－5，

令y＝0，解得x＝15，

∴點H的座標為(15，0)．

又∵MH∥PB，

∴＝，即＝，

∴m＝－；

②當QO＝QP時，△OPQ是等腰三角形，如解圖②，

第8題解圖②

∵當x＝0時，y＝x2－3x－8＝－8，

∴點C的座標為(0，－8)，

∴CE＝＝5，

∴OE＝CE，

∴∠1＝∠2，

又∵QO＝QP，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴CE∥PB.

設直線CE交x軸於點N，其函數表達式為y＝k2x－8，

E（3，-4）在直線CE上，

∴3k2－8＝－4，解得k2＝，

∴直線CE的函數表達式為y＝x－8，

令y＝0，得x－8＝0，

∴x＝6，

∴點N的座標為(6，0)．

∵CN∥PB.

∴＝，

∴＝，解得m＝－.

綜上所述，當m的值為－或－時，△OPQ是等腰三角形．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：解答題